Cosinus Arah Sebuah Segmen

Cosinus Arah Sebuah Segmen

Misalkan sebuah segmen P₁P₂ adalah segmen yang titik awalnya P₁ dan titik terminalnya P₂.Pada titik P₁ sketsa tiga buah sinar yang mempunyai arah masing-masing ke sumbu X positif, ke sumbu Y positif dan ke sumbu Z positif. Cosinus sudut A (disingkat cos A), Cosinus sudut B (disingkat cos B) dan cosinus sudut C (disingkat cos C) yang dibentuk antara segmen berarah dengan didefinisikan sebagai segmen arah cosines tersebu. Disini A adalah sudut yang dibentuk antara segmen berarah dengan sumbu X, B adalah sudut yang dibentuk segmen berarah dengan sumbu Y, sedangkan sudut C adalah sudut yang dibentuk antara segmen berarah dengan sumbu Z.

Catatan: Cara menentukan sudut di atas dengan jalan mengukur sudut mulai dari sumbu positif yang dimaksud sampai segmen berarah.

Jika awal segmen berarah tersebut tidak berimpit dengan titik asal, kita sket salah tiga buah sinar yang berarah dengan sumbu X positif, sumbu Y positif dan sumbu Z positif, masing-masing pada titik awal segmen berarah di atas. Sedangkan yang dimaksud dengan ukuran sudut A, B dan C adalah sudut yang dihitung mulai dari sinar pada arah positif sampai ke segmen yang bersangkutan. Sketsa sebagai ilustrasi dapat kita lihat pada gambar 7.10, untuk segmen yang titik awalnya berimpit dengan titik asal, dan gambar 7.11 segmen yang titik awalnya tidak berimpit dengan titik asal.

Misalkan cosinus arah dengan dinotasikan l, m, n, dimana: l = cos A, m = cos B dan n = cos  C. Karena nilai kosinus sebuah sudut tidak pernah lebih dari 1 atau kurang dari -1, maka nilai l, m dan n masing-masing memenuhi pertidaksamaan berikut:

Dari gambar, kita peroleh:
 
Jadi, kosinus arah tersebut kita kuadratkan dan kita jumlahkan, maka kita peroleh:

                                
 

                                 = 1

Jadi, jumlah kuadrat kosinus arah sebuah segmen berarah sama dengan satu. Juga nilai kosinus arah diperoleh dari hasil bagi komponen skalar sebuah segmen berarah dengan panjang segmen tersebut.

 
Contoh: 
 Carilah kosinus arah sebuah segmen yang titik awalnya P₁ (-2,3,-1) dan titik terminalnya P₂ (3,1,-3).
 Penyelesaiannya :

Proyeksi   kepada sumbu
Proyeksi kepada sumbu y adalah
Proyeksi kepada sumbu z adalah

         
         

Jadi,
Kita cek kebenarannya dengan menunjukkan bahwa:
, maka