Sejarah Matematika Perkembangan Geometri Analitik Abad Ke-17

PERKEMBANGAN GEOMETRI ANALITIK ABAD KE-17

      A.     Sejarah Perkembangan Geometri Analitik

Terdapat perbedaan pendapat tentang siapa yang menemukan geometri analitik. Tidak diketahui dengan jelas siapa penemu geometri analitik. Kita tahu bahwa Yunani Kuno menemukan berbagai hal tentang aljabar geometri, dan dikenal banyak orang tentang koordinat yang digunakan di jaman kuno oleh orang Mesir dan Romawi dalam pembuatan  peta. Dan orang-orang Yunani mempunyai andil besar dalam geometri khususnya persamaan geometri, persamaan kurva Cartesius, merupakan pendapat asli dari Menaechmus. Pada abad 14 Nicole Oresme melahirkan dalil-dalil dengan cara pembuatan grafik kurva variabel bebas (latitudo) yang berbeda dengan grafik kurva variabel tidak bebas (longitudo). Semua ini masih jauh dari apa yang sebenarnya kita pikirkan tengan gemetri analitik, dan mungkin memang benar bahwa kontribusi konstanta telah ditemukan Descartes dan Fermat pada abad ke 17 sebagai suatu hal penting dalam geometri analitik. Pada awal abad ke-17 terdapat dua perkembangan penting dalam geometri.

Perkembangan geometri yang pertama dan yang terpenting, adalah penciptaan geometri analik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh Rene Descartes (1596-1650) dan Pierre de Fermat (1601-1665). Geometri Analitik, juga disebut geometri koordinat dan dahulu disebut geometri Kartesius, adalah pembahasan geometri menggunakan prinsip-prinsip aljabar menggunakan bilangan riil. Biasanya, sistem koordinat Kartesius diterapkan untuk menyelesaikan persamaan bidang, garis, garis lurus, dan persegi, yang sering dalam pengukuran 2 atau 3 dimensi. Seperti yang diajarkan di buku pelajaran sekolah, geometri analitis dapat dijelaskan dengan sederhana: terfokus pada pendefinisian bentuk bangun dalam bilangan dan menjadikan sebagai sebuah hasil perhitungan. Hasil perhitungan dapat diasumsikan sebagai sebuah vektor atau bangun. Bagaimanapun juga beberapa output numerik juga membentuk vektor. Ada anggapan bahwa lahirnya geometri analitis adalah permulaan matematika modern. Ini adalah awal yang di perlukan untuk perkembangan kalkulus. Perkembangan geometrik kedua adalah penyelidikan sistematik dari geometri  projektif oleh Girard Desargues (1591– 1661). Geometri projektif adalah penyelidikan geometri tanpa ukuran, cuma dengan menyelidik bagaimana poin selari dengan satu sama lain.

     

      B.     Para Penemu Geometri Analitik

1    

1           1. Rene Descartes (1596-1650)

     Matematikawan Rene Descartes, yang lahir di sebuah Desa La Haye Prancis tanggal 31 Maret 1596, adalah orang yang memiliki ketertarikan pada bidang geometri analitik. Terobosan baru  pada penemuan karya matematika dalam bidang analitik geometri yang dipelopori oleh Descartes. Pemikiran Descartes mengenai geometri analitik dituangkan dalam tulisanya yang berjudul “La Géométrie” Karyanya yaitu koordinat kartesius. Uraian geometri  pada bagian pertama dari karya ini diuraikan mengenai aljabar geometri sebagai  pengembangan dari aljabar geometri gerik purbakala. Saat Beliau mempelajari bentuk -bentuk dengan menggunakan sumbu-sumbu. Descartes menemukan hasil mengejutkan, diketahui bahwa semua bentuk mempunyai kategori persamaan umum, seperti halnya garis lurus. Menentukan suatu titik memenuhi relasi x dan y. 

Pada suatu sumbu dilukiskan x, mengapit sudut tertentu dengan sumbu yang dilukiskan y, maka terbentuk (x,y). Untuk menangani garis-garis dan bentuk-bentuk ruang diperlukan sebuah grafik untuk menggambarkannya. Grafik dibuat dengan menyilangkan garis horizontal - diberi nama sumbu x, dengan garis vertikal – diberi nama sumbu y, dimana persilangan itu terjadi pada titik nol [0]. Pada sumbu x sisi kanan adalah  positif sedang sisi kiri negatif. Begitu pula, bagi sumbu y di sisi atas adalah positif dan sedang di sisi bawah negatif. Bentuk-bentuk atau garis-garis dapat digambar pada grafik sesuai dengan posisinya yang ditandai dengan angka-angka. Sebagai contoh, sebuah titik dapat digambarkan oleh dua angka, satu menunjukkan jarak pada sumbu x dan lainnya menunjukkan jarak pada sumbu y. Misal: titik P dihadirkan dengan dua angka 3 dan 2 menunjuk 3 satuan ukuran pada sumbu x dan 2 satuan ukuran pada sumbu y dan ditulis dengan notasi titik P (3,2) notasi  positif karena berada di kuadran 1. Pada kuadran 2, maka titik pada sumbu x bertanda negatif dan titik pada sumbu Y positif seperti pada contoh (-2,3). Pada kuadran 3, titik-titik pada sumbu X maupun sumbu Y, sama-sama negatif seperti contoh (-1,-2). Untuk kuadran 4, titik pada sumbu X positif sedang titik pada sumbu Y bertanda negatif seperti (2,-3). Untuk lebih jelasnya Anda bisa melihat gambar di bawah ini.

Saat Beliau mempelajari bentuk-bentuk dengan menggunakan sumbu-sumbu, Descartes menemukan hasil mengejutkan. Diketahui bahwa semua bentuk memunyai kategori persamaan umum, seperti halnya garis lurus. Menggambar theorema Pythagoras,  pada sebuah lingkaran dengan pusat pada titik (0,0) dengan x dan y masing-masing menunjuk jarak dari titik pusat dan r adalah jari-jari lingkaran, diperoleh x² + y² = r². Rumus di atas merupakan fungsi lingkaran.

Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya“Discourse on Method ”, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau obyek pada sebuah  permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya, “La Géométrie”, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya. 

2 .Pierre de Fermat (1601-1665)

Fermat lahir di Toulouse, anak dari seorang saudagar kulit. Beliau memperoleh  pendidikan di bidang hukum, dan bekerja sebagai ahli hukum dengan penampilannya yang sederhana. Penemuan fermat terpenting adalah mengenai teori bilangan. Dalam teori bilangan Beliau dipandang memiliki intuisi dan kemampuan luar biasa yakni: Jika m suatu bilangan prima dan p bilangan relatif prima kepada m maka pm-1 -1 habis dibagi m. Misalnya: m = 5, p =4 maka 45-1 -1 = 255 habis dibagi 5. Tiap bilangan prima ganjil dapat dinyatakan sebagai selisih dari dua kuadrat hanya dengan satu cara. Teorema ini dibuktikan sebagai berikut : Jika p suatu bilangan prima ganjil, maka : Bukti yang diberikan itu amat sederhana. Sebut p = x2 – y2, maka p = (x + y) (x - y) Karena p adalah bilangan prima, maka faktornya hanyalah x +y = p dan, x - y = 1. ü Suatu Bilangan Prima dalam bentuk p = 4m+1 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat. Misalnya: 13 = 4 x 3 + 1= 22 + 32 29 = 4 x 7 + 1 = 52 + 22 . Bilangan Prima p = 4m +1 hanya terjadi satu kali sebagai hipotenusa segitiga siku. Kuadrat dari p dapat terjadi dua kali sebagai hipotenusa dan pangkat tiga dari p dapat terjadi tiga kali sebagai hipotenusa dan seterusnya. Contohnya : p = 13 = 4(3) + 1, maka 132 = 122 + 52 ( satu kali), p = 169, maka 1692 = 1562 + 652 = 1202 + 1192 (dua kali) Dan seterusnya. Terdapat hanya satu bilangan bulat sebagai penyelesaian dari x2 + 2 = y3 , dan hanya dua dari x2 + 4 = y

3 Soal ini dikemukakan Fermat sebagai tantangan kepada ahli matematika inggris. Penyelesaiannya : x = 5 , y = 3 pada persamaan pertama. x=2, y =2 ; x =1 , y = 5 pada persamaan kedua.

Beliau dipandang sebagai ahli yang amat teliti dalam tugasnya dan bersikap rendah hati sebagai anggota dewan kota praja Toulouse pada usia 30 tahun. Beliau memanfaatkan waktu luangnya belajar matematika. Bersamaan dengan saat Descartes merumuskan dasar geometri analitik, Fermat juga mempelajari bahan pelajaran itu. Maka Fermat dipandang sebagai jenius matematika Prancis abad-17. Fermat menekuni “olah raga” paling menantang pada masa itu yakni memburu dan melakukan restorasi barang-barang peninggalan kuno. Dengan dasar bahan-bahan yang diperoleh, Fermat merekonstruksi Plane Locidari Apollonius dan meng-update “Koleksi Matematika” (Mathematical Collection) dari Pappus dari Alexandria.

Pada tahun 1629, Fermat memberikan salinan karya Apollonius yang selamat, Plane  Loci, kepada salah seorang matematikawan di sana. Tidak lama kemudian, Fermat mencetuskan karya tentang maksimal, minimal dan tangen, di mana karya itu kemudian diberikan kepada Etienne d’Espagnet yang memunyai minat sama terhadap matematika guna dipelajari. Hasil sampingan dari upaya Fermat ini adalah suatu penemuan. Pada tahun 1636, Fermat mencetuskan prinsip dasar analitik geometri: Apabila diketahui persamaan dengan dua peubah (variabel) yang tidak diketahui dan dapat dihitung, akan didapat locus, yang secara gamblang menunjukkan suatu  garis, lurus atau lengkung. Pernyataan di atas, ditulis setahun sebelum Descartes menerbitkan Geometry, tampaknya merupakan pengembangan dari aplikasi Fermat terhadap analisis Viete guna mempelajari loci dari Apollonius.

Gambar di atas tampak seperti bukit dan lembah. Yang membedakan hanyalah gambar tersebut terletak dalam sistem kuadran dari Descartes. Perhatikan bahwa garis lengkung itu memunyai maksimal (titik tertinggi) dan minimal (titik terendah). Disebut tertinggi dan terendah karena dibandingkan dengan titik-titik yang terletak disebelahnya. Sekarang, amatilah tangen masing-masing titik maksimal dan minimal yang terletak pada sumbu t yang sejajar dengan sumbu x. Arah tangen pada titik ekstrim (maksimal dan minimal) dari f(t) adalah titik nol. Apabila kita mencari titik ekstrim dari fungsi, f(t), maka kita dapat menyelesaikan  problem arah (slope) untuk kurva y = f(t), dan tentukan bahwa arah untuk titik t, y sama dengan 0, bila arah itu diekspresikan dengan notasi aljabar. Hal ini sangat penting guna menemukan nilai t yang sesuai dengan titik ekstrim. Metode penemuan Fermat pada tahun 1628 - 1629, tidak pernah dipublikasikan sampai sekitar satu dekade lamanya. Penemuan ini baru diketahui karena karya tersebut dikirim ke Descartes lewat  perantaraan Mersenne.