Sejarah Matematika Yunani dan Perkembangannya

SEJARAH DAN FILSAFAT MATEMATIKA

MATEMATIKA PADA ZAMAN YUNANI DAN PERKEMBANGANNYA

A. Sejarah Matematika pada Zaman Yunani Kuno

Matematika Yunani adalah matematika yang ditulis di dalam bahasa Yunani, dikembangkan sejak abad ke-6 SM sampai abad ke-5 M di sekitar pesisir Timur Laut Tengah. Matematikawan Yunani tinggal di kota-kota yang tersebar di sekitar Laut Tengah bagian Timur, mulai dari Italia hingga ke Afrika Utara, namun dibersatukan oleh budaya dan bahasa Yunani. Matematika Yunani pada periode setelah Iskandar Agung kadang-kadang disebut matematika helenistik. Kata "matematika" sendiri diturunkan dari kata Yunani kuno μάθημα (mathema), yang artinya "pelajaran tentang instruksi". Pelajaran matematika sendiri dan penggunaan teori dan bukti matematika yang diperumum adalah perbedaan penting antara matematika Yunani dan apa yang sudah diberikan oleh peradaban sebelumnya.

Matematika Yunani lebih berbobot daripada matematika yang dikembangkan oleh kebudayaan-kebudayaan pendahulunya. Semua naskah matematika pra-Yunani yang masih terpelihara menunjukkan penggunaan penalaran induktif, yakni pengamatan yang berulang-ulang yang digunakan untuk mendirikan aturan praktis. Sebaliknya, matematikawan Yunani menggunakan penalaran deduktif. Bangsa Yunani menggunakan logika untuk menurunkan simpulan dari definisi dan aksioma, dan menggunakan kekakuan matematika untukmembuktikannya.Bangsa Yunani juga mengembangkan sistem numerasinya sendiri.Sistem numerasi yang digunakan bangsa Yunani ada 2 macam yaitu sistem Attic (Herodianic) dan sistem Ionia.

Dalam sistem numerasi Attic lambang untuk bilangan satu sampai empat digunakan lambang tongkat dengan perulangan lambang, misalnya dua dilambangkan dengan II , sedangkan lima dilambangkan dengan ┌ ,yaitu huruf awal dari Penta (lima). Bilangan lima sampai sembilan dilambangkan dengan kombinasi ┌ dengan tongkat │.Selanjutnya untuk melambangkan bilangan sepuluh,seratus,seribu,sepuluh ribu digunakan huruf-huruf awal nama bilangan itu, yakni sepuluh dilambangkan dengan ∆ (Deka = sepuluh), seratus dengan Н (Hekaton= seratus), seribu dengan χ (Khiloi =seribu),sepuluh ribu dengan Ϻ(Myrioi = sepuluh ribu).

Lambang lain yang digunakan sebagai penyingkat yaitu “┌” yang berarti lima. Jika digabung dengan lambang lain, maka nilainya lima kali lambang dasar yang tertulis. Dalam sistem numerasi ini, lambang nol belum ada. Sistem numerasi ini adalah sistem numerasi aditif dan multiplikatif. Multiplikatif terlihat pada penggunaan lambang dimana setiap lambang dasar yang sama dapat disingkat dengan menggunakan lambang tersebut.

Desimal

Simbol

Yunani angka

1

Ι

-

5

Π

Πέντε

10

Δ

Δέκα

100

Η

ἑκατόν

1000

Χ

χίλιοι / χιλιάς

10000

Μ

Μύριον

Contoh:

23 = Δ ΔIII

45 = Δ Δ Δ Δ┌

50 = Δ Δ Δ Δ Δ atau éΔ

120 = H Δ Δ

1234 = XHH Δ Δ ΔIIII

43210 =MMMMXXX HH Δ

Sistem numerasi Ionia digunakan setelah sistem numerasi Attic.Sistem numerasi Ionia menggunakan alphabet Yunani sebagai lambang bilangan, yaitu sembilan huruf untuk melambangkan bilangan satu sampai dengan bilangan sembilan,sembilan huruf untuk melambangkan kelipatan sepuluh yang lebih kecil dari seratus, dan sembilan huruf lagi untuk melambangkan kelipatan seratus yang lebih kecil dari seribu. Sistem numerasi Alphabet Yunani lebih singkat dan sistematis, aturan penulisannya yaitu: Bilangan yang terdiri dari 2 (dua) digit caranya dengan menjumlahkan angka puluhan dengan angka satuan.

Contoh:

19 = 10 + 9 = qi

23 = 20 + 3 = gÀ

78 = 70 + 8 = ho

           

            Bilangan yang terdiri dari 3 (tiga) digit caranya dengan menjumlahkan angka ratusan dengan angka puluhan dengan angka satuan.

Contoh:

174 = 100+70+4 =dor

448 = 400+40+8 =hmu

789 = 700+80+9 =qpj

            Bilangan yang terdiri dari 4 (empat) digit atau ribuan, dengan cara membubuhi tanda aksen (‘).

Contoh:

1000 = a’

3734 = g’dlj

1287 = a’zps

            Bilangan yang terdiri dari 5 (lima) digit atau lebih, dengan menaruh angka yang bersangkutan di atas tanda M.

Contoh:

23734 = β Mg’dlj

231578 =gÀ Ma’hof

B.   Perkembangan Matematika di Zaman Yunani Kuno

            Sejarah perkembangan awal matematika pada zaman Yunani Kuno dimulai dengan orang-orang Yunani membuat matematika menjadi sebuah disiplin ilmu. Mereka menyadari bahwa pentingnya ilmu matematika dalam kehidupan sehari-hari. Orang Yunani mewarisi ilmu pengetahuan dari Timur dan mereka mendalaminya dengan usaha mereka sendiri, inilah yang membedakannya dengan para pemikir zaman Babilonia.

Sumber sejarah matematika Yunani sayangnya sangat sedikit. Hal tersebut disebabkan karena di Yunani tidak ada papirus seperti yang digunakkan di Mesir dan tidak ada tanah liat yang di gunakan di Babel. Akibatnya, sejarah awal Yunani berawal dari mitos, legenda dan anekdot yang di lestarikan oleh penulis yang hidup berabad- abad kemudian.

Pada Zaman Besi (abad ke-6 SM), menandakan kenaikannya matematika di Yunani. Dimana peristiwa tersebut disebut “Peradaban Yunani” dimana muncul perkembangan matematika baru oleh ilmuwan-ilmuwan seperti Thales dan Pythagoras. Thales memiliki karya-karya dalam bidang geometri. Thales berhasil membuat suatu pengukuran tidak langsung ketingian Piramida besar dan mengukur seberapa jauh jarak kapal laut dari pantai. Sedangkan Pythagoras juga memiliki karya-karya yang tidak kalah pentingnya dalam perkembangan ilmu matematika. Pythagoras menemukan aritmatika, harmoni (music), dan astronomi.

Pengaruh Yunani dalam ilmu matematika masuk melalui kegiatan penerjemahan. Menurut para sejarawan, perkembangan matematika Yunani dibagi atas dua periode, yaitu periode klasik dan periode helenistik.

1     1)      Periode Klasik

Perkembangan matematika di Yunani pada periode klasik berlangsung sekitar abad ke-6 SM dibawah pimpinan kota Athena, yang berhasil menghalau serangan kekaisaran Persia. Pada masa ini ada beberapa sejarawan yang menepatkan permulaan matematika  yunani antara lain yaitu:

a               a)      Thales

Sejarawan biasanya menempatkan permulaan matematika Yunani pada masa hidup Thales dari Miletus (kira-kira 624-548 SM). Hanya sedikit yang diketahui tentang hidup dan karya Thales, tipis kepastian bahwa kelahiran dan kematiannya berdekatan dengan gerhana pada tahun 585 SM, yang mungkin muncul ketika dia masih dalam usia produktif. Meskipun demikian, umumnya disepakati bahwa Thales adalah orang pertama dari tujuh pria bijak dari Yunani. Thales menggunakan geometri untuk menyelesaikan soal-soal perhitungan ketinggian piramida dan jarak perahu dari garis pantai. Theles menyampaikan lima teorema tentang geometri yang mungkin diperolehnya dari hasil pengalamannya.teorema tersebut adalah:

1.      suatu lingkaran dibagi dua sama besar oleh diameernya.

2.      Sudut-sudut alas suatu segitiga sama kaki adalah sama.

3.      Pasangan sudut siku-siku yang dibuat oleh dua garis yang berpotongan adalah sama.

4.      Dua segitiga adalah sama dan sebanguan apabila dua sudut dan satu sisinya sama.

5.      Suatu sudut yang dilukis dalam setengah lingkaran adalah siku-siku.

Dia dihargai sebagai orang pertama yang menggunakan penalaran deduktif untuk diterapkan pada geometri, dengan menurunkan empat akibat wajar dari teorema Thales. Hasilnya, dia dianggap sebagai matematikawan sejati pertama dan pribadi pertama yang menghasilkan temuan matematika.  tradisi yang melekat pada Thales adalah peragaan teorema itu. Dengan alasan inilah Thales seringkali dielu-elukan sebagai bapak organisasi deduktif matematika dan sebagai matematikawan sejati pertama.Thales juga dianggap sebagai orang terdini di dalam sejarah, yang kepadanya temuan-temuan khusus matematika disematkan. Meskipun tidak diketahui apakah Thales atau bukan yang pertama memperkenalkan struktur logika ke dalam matematika, yang saat ini menjadi hal yang berlaku di manapun, tetapi diketahui bahwa di dalam dua ratus tahun sesudah kematian Thales bangsa Yunani memperkenalkan struktur logika dan gagasan pembuktian ke dalam matematika.

b               b)      Pythagoras

Tokoh penting lainnya di dalam pengembangan matematika Yunani adalah Pythagoras dari Samos (kira-kira 580-500 SM). Seperti Thales, Pythagoras juga berkunjung ke Mesir dan Babilonia, kemudian Magna Graecia di bawah kekuasaan Nebukadnezar II, tetapi menetap di Croton. Pythagoras mendirikan sebuah madzhab yang disebut Mazhab Pythagoras yang menangani pengetahuan dan sifat-sifat wajar dan oleh karenanya semua temuan para pengikut mazhab Pythagoras menjadi milik mazhab ini. Dan karena di zaman kuno adalah suatu kelaziman untuk memberikan semua penghormatan bagi sang guru, Pythagoras sendiri dihargai atas temuan-temuan yang dibuat oleh mazhabnya.

 Aristoteles adalah seorang yang menolak penghormatan apapun yang khusus bagi Pythagoras sebagai pribadi, dan menganggap bahwa karya mazhab Pythagoras adalah karya sebuah kelompok. Salah satu persifatan terpenting dari mazhab Pythagoras adalah bahwa mazhab ini memelihara persepakatan bahwa pengkajian matematika dan filsafat adalah landasan akhlak untuk menjalani kehidupan. Jelas, bahwa kata-kata "filsafat" (cinta akan kebijaksanaan) dan "matematika" (yang dipelajari) dianggap digulirkan oleh Pythagoras. Dari cinta akan pengetahuan ini datanglah banyak pencapaian. Menjadi kewajaran untuk dikatakan bahwa mazhab Pythagoras menemukan sebagian besar bahan di dalam dua pertama buku Euklides, Elemen.

Pythagoras dihargai dengan pengakuan dasar matematika pada harmoni music dan menurut tanggapan Proclus terhadap Euklides dia menemukan teori kesetaraan danpadatan beraturan. Beberapa sejarawan modern telah mempertanyakan apakah dia benar-benar membangun kelima-lima padatan beraturan itu, alih-alih para sejarawan itu lebih menganggap masuk akal bahwa Pythagoras hanya membuat tiga dari lima yang diakui.

Beberapa sumber kuno menerakan temuan teorema Pythagoras bagi Pythagoras, padahal sumber lain mengakuinya sebagai bukti dari teorema yang dia temukan. Sejarawan modern percaya bahwa prinsip itu sendiri sudah diketahui oleh bangsa Babilonia dan mungkin saja diperoleh dari sana. Mazhab Pythagoras memandang numerologi dan geometri sebagai hal yang paling mendasar untuk memahami sift-sifat semesta dan oleh karenanya menjadi kiblat bagi gagasan-gagasan filsafat dan keagamaan mereka. Mazhab Pythagoras dihargai dengan beberapa pengembangan matematika tingkat lanjut, seperti penemuan bilangan irasional. Sejarawan menghargai mereka atas peran utamanya di dalam pengembangan matematika Yunani (khususnya teori bilangan dan geometri) ke dalam sistem logika utuh menurut definisi-definisi yang jelas dan teorema-teorema yang terbuktikan, yang dianggap sebagai subjek yang pantas dari pengkajian di dalam kebenarannya sendiri, tanpa memandang terapan praktis yang menjadi perhatian utama bagi bangsa Mesir dan Babilonia.

                 

                 c)      Hippocrates

Hippocrates semula adalah seorang pedagang yang memutuskan untuk belajar geometri yang kemudian mengalami kesuksesan dalam bidang matematika.Hippocrates menulis buku yang berjudul “Elements of Geometry”, mendahului karya Euclid “Elements”.

Salah satu bagian dari karya Hippocrates ini kemudian muncul dalam buku “Sejarah Matematika” Eudemus, adalah yang berhubungan dengan kuadratur suatu “lune” yaitu bangun yang dibatasi oleh dua busur lingkaran yang mempunyai jari-jari yang tidak sama. Menurut teorema Hippocrates segmen-segmen yang sebangun dari lingkaran-lingkaran mempunyai ratioyang sama dengan kuadrat-kuadrat alasnya.Hippocrates mendemonstrasikan teoremanya ini dengan memperlihatkan bahwa luas dua lingkaran adalah berbanding lurus dengan kuadrat diameter-diameternya.

d               

                  e)     Eudoxus

Dalam bidang matematika Eudoxus memperkenalkan sesuatu hal yang baru tentang perbandingan seharga.Eudoxus memberikan definisi yang baru dan lebih akseptabel untuk perbandingan seharga.Yang mengatakan bahwa a/b = c/d, jika dan hanya jika diketahui bilangan m dan n, bilamana ma / nb, maka mc < nd, atau apabila ma = nb, maka mc = nd, atau apabila ma > nb, maka mc > nd. Kemudian Eudoxus menemukan lagi suatu aksioma, yaitu sering disebut dengan nama “Axioma Kontinuitas”, yang merupakan basis untuk metode penghausan (exhaustion),yang ekivalen dengan integral kalkulus.Aksioma ini menyatakan bahwa apabila diketahui dua besaran yang mempunyai suatu ratio (artinya masing-masing besaran tidak boleh sama dengan nol).

e               

                 f)      Menaechmus

Menaechmus adalah salah seorang murid dari akademi Eudoxus dan merupakan matematician yang terkemuka. Menaechmous menemukan lagi kurva-kurva baru yang dikenal dengan ellips.,parabola,dan hiperbola. Dengan mengenal kurva baru ini maka problem delion dengan mudah dapat diselesaikan.

Dalam memperlihatkan sifat-sifat irisan kerucut, menaechmus mulai dengan kerucut tegak siku-siku (sudut puncak 900). Apabila kerucut ini dipotong oleh bidang datar tegak lurus pada suatu unsur kerucut maka kurva dari irisan yang terjadi persamaannya dapat dituliskan dalam bentuk y2=1x,dimana 1 suatu konstanta yang besarnya tergantung dengan jarak antara titik puncak dengan perpotongan bidang.

1   

      2)      Helenistik

Peradaban helenistik bermula pada abad ke-5 SM dengan penaklukan iskandar agung atas pesisir laut tengah bagian timur, mesir, Mesopotamia, dataran tinggi iran, asia tengah dan beberapa bagian dari india yang menjadi awal dari penyebaran bahasa dan budaya yunani keseberang lautan. Bahasa yunani menjadi bahasa para sarjana didunia helenistik dan matematika yunani melebur dengan matematika mesir dan matematika babilonia untuk membangkitkan matematika helenistik.

Pusat pengkajian terpenting pada priode ini adalah iskandariah di mesir yang menarik banyak sarjana dari seluruh penjuru dunia helenistik, terutama yunani dan mesir, tetapi juga dari yahudi, Persia, fenesia dan bahkan juga dari india. Sebagian besar naskah matematika yang ditulis didalam bahasa yunani telah ditemukan di yunani, mesir, Anatolia, Mesopotamia, dan sisilia.

Archimedes mampu menggunakan infinitesimal di dalam cara yang sama dengan kakulus integral modern.dengan mengasumsikan proposisi sebagai benar dan menunjukkan bahwa langkah-langkah berikutnya menunjukkan kontradiksi dia dapat memberi jawaban untuk soal-aoal sampai sembarang derajat keakuratan, pada saat yang sama menspesifikasi limit-limit tempat beradanya jawaban.teknik ini dikenal sebagai metode kelelahan dan dia memanfaatnkanya untuk menghampiri nilai didalam kuadratur parabola archimrdes membuktikan bahwa luas yang dilingkupi parabola dan garis lurus adalah sama dengan  kali luas segitiga yang alas dan tingginya sama panjang. Dia menyatakan solusi untuk soal itu sebagai barisan geometri tak hingga yang jumlahnya sama dengan .di dalam penghisapan pasir, Archimedes berupaya menghitung banyaknya butiran pasir yang dapat dimuat oleh semesta.untuk melakukannya dia menantang gagasan bahwa banyaknya butiran pasir terlalu banyak untuk dihitung, dengan merancang skema perhitungan sendiri berdasarkan myriad,yng dilambangkan 10.000.

Matematika dan astronomi yunani mencapai tahapan lanjut pada peradaban kelenistik, yang diramaikan oleh para sarjana seperti hipparchs, posidonius, dan prolemy yang mampu membangun computer analog sederhana seperti mekanisme antikyhera.

C.  Pencapaian Ilmu Matematika di Yunani

Matematika Yunani terdiri dari sebuah periode besar di dalam sejarah matematika, sangat mendasar dalam geometri dan gagasan bukti formal. Matematika Yunani juga bersumbangsih penting bagi gagasan-gagasan teori bilangan, analisis matematika, matematika terapan, dan, pada periode itu, mendekati capaian kalkulus integral. Tokoh-tokoh terkenal di dalam matematika Yunani di antaranya Pythagoras, seorang tokoh buram dari pulau kecil, Samos sebagian berserikat dengan kemistikan bilangan dan numerologi, tetapi lebih terkenal melalui teorema yang dihasilkannya, Teorema Pythagoras, dan Euklides, yang dikenal melalui bukunya Elemen Euklides, sebuah tulisan rujukan geometri selama berabad-abad.Capaian yang paling berkarakter dari matematika Yunani mungkin teori irisan kerucut, banyak dikembangkan di dalam periode Helenistik. Metode yang digunakan ini tidak membuat penggunaan eksplisit aljabar, tidak pula trigonometri.

D. Tradisi Manuskrip dan Penyalinan

Meskipun naskah-naskah terdini berbahasa Yunani tentang matematika yang sudah ditemukan adalah ditulis setelah periode Helenistik, banyak di antaranya dianggap sebagai salinan dari karya-karya yang ditulis pada dan sebelum periode Helenistik. Meskipun demikian, penanggalan matematika Yunani lebih pasti daripada penanggalan naskah-naskah matematika terdahulu, karena sejumlah besar kronologi wujud, tumpang tindih, kejadian-kejadian tercatat tahun demi tahun hingga kini. Bagaimanapun banyak penanggalan yang tidak pasti; tetapi keraguan adalah berkisar pada dasawarsa, bukan abad.

E. Sekolah Matematika Yunani

1        Sekolah Ionia didirikan oleh Thales (643 - 546 SM).

2        Sekolah Pythagoras didirikan oleh Pythagoras pada sekitar 585.

3        Sekolah Eleatic dari kota Italia selatan Elea dipimpin oleh Zeno yang membawa ke permukaan kontradiksi antara diskrit dan kontinu, decomposable dan yg tak dpt dibagi.

4        Sekolah Eleatic. Democritus dari Abdera (sekitar 460-370 SM) juga harus disertakan dengan Eleatics.

5        Sekolah Sofis (480 SM) itu berpusat di Athena. Penekanan diberikan kepada penalaran abstrak dan tujuan menggunakan alasan untuk memahami alam semesta.

6        Sekolah Platonis, yang paling terkenal dari semua didirikan oleh Plato (427-327 SM) pada 387 SM di Athena.

7        Pythagoras pelopor sekolah, Theodorus dari Kirene dan Archytas ari Tarentum, melalui ajaran-ajaran mereka, menghasilkan pengaruh Pythagoras kuat di sekolah Platonis keseluruhan.

8        Akademi Plato adalah seperti sebuah universitas modern. Ada alasan, bangunan, siswa, dan program pendidikan formal yang diajarkan oleh Plato dan para pembantunya. Selama periode klasik, matematika dan filsafat yang disukai.

9        Sekolah Eudoxus didirikan oleh Eudoxus (c. 408 SM), yang paling terkenal dari semua yang hebat matematika Yunani klasik dan kedua setelah Archimedes.

10    Sekolah Aristoteles, yang disebut Lyceum, yang didirikan oleh Aristoteles (384-322 SM) mengikuti sekolah Platonis. Aristoteles mengatur filsafat fisika, matematika, dan realitas pada yayasan yang akan membawanya ke zaman modern.