Penemuan Integral (Konsep Integral)

A. Tokoh Penemu Integral

1. Archimedes

Archimedes dari Syracusa (sekitar 287 SM - 212 SM). Ia adalah fisikawan dan matematikawn penemu dari Yunani yang terkenal. Ia belajar di kota Alexandria, Mesir. Pada waktu itu yang menjadi raja di Sirakusa adalah Hieron II, sahabat Archimedes. Archimedes sendiri adalah seorang matematikawan, astronom, filsuf, fisikawan, dan insinyur berbangsa Yunani. Archimedes menggunakan ide integral tersebut untuk mencari luas daerah suatu lingkaran, luas daerah yang dibatasi oleh parabola dan tali busur, dan sebagainya.

2. Gottfried Wilhem Leibniz

Gottfried Wilhem Leibniz atau kadangkala dieja sebagai Leibnitz atau Von Leibniz (1 Juli (21 Juni menurut tarikh kalender Julian) 1646 – 14 November 1716) adalah seorang filsuf Jerman keturunan Sorbia dan berasal dari Sachsen. Selain seorang filsuf, ia adalah ilmuwan, matematikawan, diplomat, fisikawan, sejarawan dan doktor dalam hukum duniawi dan hukum gereja.

Leibniz dipercaya bersama dengan Sir Isaac Newton, dengan penemuan kalkulus (diferensial dan kalkulus integral). Menurut notebook Leibniz, terobosan penting terjadi pada 11 November, 1675, ketika ia bekerja kalkulus integral untuk pertama kalinya menemukan area di bawah grafik fungsi . Dia memperkenalkan beberapa notasi yang digunakan sampai hari ini, misalnya tanda integral, mewakali S memanjang, dari kata Latin summa, dan digunakan untuk selisih, dari kata diferensial Latin. Ini notasi cerdik sugestif untuk kalkulus mungkin warisan matematika paling abadi. Leibniz tidak mempublikasikan apa-apa tentang kalkulus sampai 1684. Leibniz menyatakan hubungan terbalik integrasi dan diferensial, kemudian disebut teorema dasar kalkulus, dengan cara maksud bentuknya tahun 1693 dalam karangan Supplementum geometriae dimensoriae. Namun, James Gregory dipercaya untuk penemuan teorema dalam bentuk geometris, Isaac Barrow membuktikan versi geometris yang lebih umum, dan Newton mengembangkan teori pendukung. Konsep menjadi lebih transparan dikembangkan melalui formalisme Leibniz dan notasi baru. Aturan produk kalkulus diferensial masih disebut "hukum Leibniz". Selain itu, teorema yang memberitahu bagaimana dan kapan untuk membedakan dalam tanda integral disebut Leibniz aturan terpisahkan.

3. Issac Newton

Kebanyakan ahli sejarah percaya bahwa Newton dan Leibniz mengembangkan kalkulus secara terpisah. Keduanya pula menggunakan notasi matematika yang berbeda pula. Menurut teman-teman dekat Newton, Newton telah menyelesaikan karyanya bertahun-tahun sebelum Leibniz, namun tidak mempublikasikannya sampai dengan tahun 1693. Ia pula baru menjelaskannya secara penuh pada tahun 1704, manakala pada tahun 1684, Leibniz sudah mulai mempublikasikan penjelasan penuh atas karyanya. Notasi dan "metode diferensial" Leibniz secara universal diadopsi di Daratan Eropa, sedangkan Kerajaan Britania baru mengadopsinya setelah tahun 1820.

4. Georg Friedrich Bernhard Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann (lahir 17 September 1826 – meninggal 20 Juli 1866 pada umur 39 tahun) (diucapkan REE mahn) ialah matematikawan Jerman yang membuat sumbangan penting pada analisis dan geometri diferensial, beberapa darinya meratakan jalan untuk pengembangan lebih lanjut pada relativitas umum. Namanya dihubungkan dengan fungsi zeta Riemann, integral Riemann, lema Riemann, manipol Riemann, teorema pemetaan Riemann, problem Riemann-Hilbert, teorema Riemann-Roch, persamaan Cauchy-Riemann dll.

Integral Riemann, dalam cabang matematika yang dikenal sebagai analisis riil, merupakan definisi ketat pertama integral sebuah fungsi dalam sebuah selang. Meskipun integral Riemann tidak cocok untuk banyak kegunaan teoretis, integral ini merupakan salah satu integral yang paling mudah untuk didefinisikan. Sebagian kekurangan teknis ini dapat diperbaiki oleh integral Riemann-Stieltjes, dan kebanyakan tidak ada lagi pada integral Lebesgue.

B. Konsep Dasar Integral
Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya. Diferensiasi adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.

1. Integral Tak Tentu

Misalkan fungsi f adalah turunan dari fungsi F, yang berarti

$f'(x)=\frac{d(fx)}{d(x)}= f(x)$
Pandanglah pendiferensialan fungsi-fungsi di bawah ini

$f(x)= space;x^3\Rightarrowf'(x)=3x^2$
$f(x)= x^3+5\Rightarrow f'(x)=3x^2$
$f(x)= x^3+5\Rightarrow f'(x)=3x^2$
$f(x)= x^3+c\Rightarrow f'(x)=3x^2 (c= konstanta )$

Sekarang timbul pertanyaan apakah dari hubungan F'(x) = f(x) ini jika f(x) diketahui maka f(x) pasti dapat ditentukan ?

Suatu operasi mencari F(x) jika f(x) diketahui yang merupakan invers dari operasi pendiferensialan disebut operasi anti derivatif, anti diferensial, anti turunan yang biasa disebut Operasi integral. Dari contoh di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa anti turunan dari $f(x) = 3x^2$ adalah $F(x) = x^3 + c$ , c = konstanta.

Dari pengertian bahwa integral adalah invers dari Operasi pendiferensialan, maka apabila terdapat fungsi F(x) yang diferensial pada interval [a, b] sedemikian hingga $\frac{df(x)}{dx}= F'(x)=f(x)$ maka anti turunan dari f(x) adalah F(x)+c, dan biasa kita tulis:

$\int f(x) dx=F(x)+c$

dengan c sembarangan konstanta.

Dari contoh diatas diperoleh hasil $\small \int 3x^2 dx=x^3+c$ . Dengan memerhatikan diferensial-diferensial dibawah ini:

$\small f(x)=x+c\Rightarrow f'(x)=1$

$\small f(x)=x+c\Rightarrow f'(x)=1$
$\small f(x)=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{n+1}^{{(n+1)}^{x^n}}=x^n$
$\small f(x)=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c\Rightarrow f'(x)=\frac{a}{n+1}^{{(n+1)}^{x^n}}=ax^n$
maka diperoleh integral fungsi-fungsi aljabar :

$1. \int dx=x+c$
$2. \int {a} dx= ax+c$
$3. \int x^n dx=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+c, n\neq-1$ , dengan n bilangan rasional dan a, c bilangan real

$4. \int ax^n dx=\frac{a}{n+1} x^{n+1}+c, n\neq-1$ , dengan n bilangan rasional dan a, c bilangan real

Jika f(x) dan g(x) merupakan dua fungsi yang dapat di integralkan dan c, k bilangan real, maka:
$5. \int f(x)\pm g(x) dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$
$6. \int kf(x)dx=k\int f(x)dx$

Contoh :

1. Tentukan $\int (x^3-2x)dx$
Jawab:
$\int (x^3-2x)dx=\frac{1}{3+1}x^{3+1} -\frac{2}{1+1}x^{1+1}+c$
   $=\frac{1}{4}x^4-x^2+c$

2. Tentukan $\int ({3x^3-2})^2 dx$
Jawab:
$\int ({3x^3-2})^2 dx= \int (9x^6-12x^3+4)dx$
   $=\frac{9}{6+1} x^{6+1} - \frac{12}{3+1}x^{3+1}+4x+c$
   $=\frac{9}{7}x^7-3x^4+4x+c$

Mengingat pendiferensialan fungsi-fungsi yang lain, yaitu:
Jika $\small f(x)= \sin x$ maka   $\small f'(x)= cos x$
Jika $\small f(x)= cos x$ maka   $\small f'(x)= -sin x$
Jika $\small f(x)= tan x$ maka   $\small f'(x)= sec^2 x$
Jika $\small f(x)= cot x$ maka   $\small f'(x)= -csc^2 x$
Jika $\small f(x)= sec x$ maka   $\small f'(x)= sec x .tan x$
Jika $\small f(x)=\csc x$ maka   $\small f'(x)=-\csc x.\cot x$
Jika $\small f(x)=e^x$ maka   $\small f'(x)=e^x$
Jika $\small f(x)=\ln x$ maka $\small f'(x)=\frac{1}{x}$

Adapun rumus dasar integral trigonometri dapat dirumuskan sebagai berikut.
$\small 1) \int \sin x \ dx =-\cos\ x + c$
$\small 2) \int \cos x \ dx =-\sin\ x + c$
$\small 3) \int \sin ax \ dx =-\frac{1}{a}\cos\ ax + c$
$\small 4) \int \cos ax \ dx =\frac{1}{a}\sin\ ax + c$
$\small 5) \int \sin (ax+b) \ dx =-\frac{1}{a}\cos\ (ax+b) + c$
$\small 6) \int \cos (ax+b) \ dx =\frac{1}{a}\sin\ (ax+b) + c$
$\small 7) \int \tan \ x\ dx = \ln \left | sec\ x \right | + c$
$\small 8) \int \cot \ x\ dx = \ln \left | sin\ x \right | + c$
$\small 9) \int \sec \ x\ dx = \ln \left | sec\ x +\ tan\ x \right | + c$
$\small 10) \int \csc \ x\ dx = \ln \left | csc\ x -\ cot\ x \right | + c$
$\small 11) \int \sec^2 \ x\ dx = tan \ x + c$
$\small 12) \int \csc^2 \ x\ dx = -cot \ x + c$

Berkaitan dengan penyelesaian integral fungsi trigonometri, biasanya memerlukan hubungan perbandingan trigonometri berikut.

$\small 1) \sin^2 \ x + \cos^2 \ x = 1$
$\small 2) 1 + \tan^2 \ x = \sec^2 \ x$
$\small 3) 1 + \cot^2 \ x = \csc^2 \ x$
$\small 4) \cos \ 2x=\cos^2 \ x \ - \sin^2 \ x$
   $\small =2\cos^2 \ x \ - 1$
   $\small =1\ - 2\sin^2 \ x$

$\small 5) \sin \ 2x = 2\sin \ x .\cos \ x$
$\small 6) \sin \ x . \cos \ y= \frac{1}{2} [ \sin \ (x+y)+ \sin \ (x-y)]$
$\small 7) \cos \ x . \sin \ y= \frac{1}{2} [ \sin \ (x+y)- \sin \ (x-y)]$
$\small 8) \sin \ x . \sin \ y= -\frac{1}{2} [ \cos \ (x+y)- \cos \ (x-y)]$
$\small 9) \cos \ x . \cos \ y= \frac{1}{2} [ \cos \ (x+y)+ \cos \ (x-y)]$
$\small 10) 1- \cos \ x = 2 \ sin^2 \ \frac{1}{2} x$
$\small 11) 1+ \cos \ x = 2 \ cos^2 \ \frac{1}{2} x$
$\small 12) \sin^2 \ x = \frac{1}{2} (1- \cos \ 2x)$

$\small 13) \cos^2 \ x = \frac{1}{2} (1+ \cos \ 2x)$
$\small 14) \sin \ x = \cos (\frac{\pi }{2}- \ x)$

Contoh :
1. Tentukan $\small \int \sin^2 \ x \ dx$
Jawab :
$\small \int \sin^2 \ x \ dx=\int \frac{1}{2} (1-\cos \ 2x)\ dx$
$\small =\int (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos \ 2x)\ dx$
$\small =\int \frac{1}{2}\ \ dx-\int \frac{1}{2} \cos\ 2x \ dx$
$\small =\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin\ 2x +c$
2. Tentukan $\small \int 2\ sec^2 \ 3x \ dx$
Jawab:
$\small \int 2\ sec^2 \ 3x \ dx$ $\small = 2\int \sec^2 \ 3x \ dx$
   $\small = 2 (\frac{1}{3} \tan \ 3x)+c$
   $\small = \frac{2}{3} \tan \ 3x+c$

2 . Integral Tertentu

Gambar diatas memperlihatkan daerah L yang dibatasi oleh y = f(x), sumbu x dari x = a sampai dengan x = b. Untuk mencari luas daerah L ditempuh langkah- langkah sebagai berikut.

Langkah pertama, interval [a,b] dibagi menjadi n interval dengan panjang masing- masing interval bagian Δx₁, Δx₂, Δx₃, …, Δx_n. Sedang pada masing-masing interval ditentukan titik-titik x₁, x₂, x₃, …, x_n. Selanjutnya dibuat persegipanjang-persegi- panjang dengan panjang masing-masing f(x₁), f(x₂), f(x₃), …, f(x_n) dan lebar masing- masing Δx₁, Δx₂, Δx₃, …, Δx_n sehingga :

Luas persegi panjang pertama = f(x₁) . Δx₁

Luas persegi panjang kedua = f(x₂) . Δx₂

Luas persegi panjang ketiga = f(x₃) . Δx₃

Luas persegi panjang ke- n = f(x_n) . Δx_n

Jumlah luas seluruh persegi panjang = f(x₁) . Δx_{1 +}f(x₂) . Δx_{2 +}f(x₃) . Δx_{3 +...+}f(x_n) . Δx_n

= $\sum_{i=1}^{n} f(x_{i}) \ . \Delta x_{i}$

Dan untuk menekankan bahwa pengambilan jumlah tersebut meliputi daerah pada interval [a,b], notasi sigma di atas sering kita tulis dengan notasi.

Jumlah luas persegi panjang =

$\sum_{x=a}^{b}f(x)\ .\ \Delta x$

Jika n dibuat cukup besar maka jumlah luas diatas mendekati luas daerah L. Sehingga luas daeah L adalah nilai limit jumlah di atas.

$L =\lim_{\Delta \ x \rightarrow } \sum_{x=a}^{b} f(x) \ . \ \Delta x$

Notasi tersebut di atas biasa ditulis dengan notasi integral tertentu atau integral Riemann: $L =\int_{a}^{b} f(x) \ dx$

Keterangan :
$\int_{a}^{b}$ : notasi integral tertentu

a : batas bawah integral
b : batas atas integral
Misalkan fkontinu pada interval tertutup [a,b] atau a ≤ x ≤ b. Jika F suatu fungsi sedemikian rupa sehiingga F^' (x)=f(x) untuk semua x pada [a,b] maka berlaku
$\int_{a}^{b} f(x) \ dx \ =\left [ F(x) \right ]_a^b = F(b) - F(a)$
F(x) adalah antiturunan dari f(x) pada a ≤ x ≤ b. Hubungan di atas dinamakan dengan teorema dasar kalkulus. Dengan teorema ini, nilai integral tertentu lebih mudah diketahui.

Contoh :

1. Tentukan nilai integral dari $\int_{1}^{3} (2x+3) dx$
Jawab:

$\int_{1}^{3} (2x+3) dx= [x^2+3x]_{1}^{3}$
   $=(3^2+3 \ . \ 3) \ - \ (1^2+3\ . \1 )$
   $=18-4$
   $=14$
2. Tentukan nilai dari $\int_{1}^{5} (x-3) dx$
Jawab:
$\int_{1}^{5} (x-3) dx=[\frac{1}{2}x^2-3x]_{1}^{5}$
   $=(\frac{1}{2}5^2-3 \ . \ 5)-(\frac{1}{2}1^2-3 \ . \ 1)$
   $=(\frac{1}{2}5^2-3 \ . \ 5)-(\frac{1}{2}1^2-3 \ . \ 1)$
   $=(\frac{25}{2}-15)-(\frac{1}{2}-3)$
   $=(\frac{25-30}{2})-(\frac{1-6}{2})$
   $=-(\frac{5}{2})+(\frac{5}{2})$
   $=0$

Experience Matematika

Penemuan Integral (Konsep Integral)

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Sejarah Matematika Yunani dan Perkembangannya

Sejarah Matematika Perkembangan Geometri Analitik Abad Ke-17

Cosinus Arah Sebuah Segmen