KOSINUS SUDUT SUATU VEKTOR (GABR)

     Misalkan O adalah pusat bola satuan dan titik awal segmen-segmen garis yang mewakili dua vektor u dan v tidak nol. Misalkan P₁ dan P₂  adalah titik yang merupakan irisan antara segmen yang mewakili vektor-vektor tersebut dengan permukaan bola satuan.

       Maka koordinat P₁ (l_1,m_1,n₁) dan P₂ (l_2,m_2,n₂) dengan l_1,m_1,n₁  adalah kosinus arah u dan l_2,m_2,n₂ adalah kosinus arah v. Sudut antara u dan v sebut θ adalah sudut antara segmen garis berarah OP₁ dan OP_2.

\

    Perhatikanlah bahwa segitiga yang terbentuk antara kedua vektor merupakan kunci dari rumus kosinus sudut antara dua vektor.

     Dengan memanfaatkan Cosine of Law (Aturan Kosinus), dengan mudah kita dapat menentukan kosinus sudut kedua vektor itu

Karena Jari-jari bola adalah 1 satuan panjang, maka:

      Kosinus sudut antara dua vektor didefinisikan sebagai jumlah hasil kali kosinus arah dua vektor yang bersangkutan dengan komponen pembentuk vektor yang saling berkorespondensi.

Cosinus arah sebuah vektor (bukan vektor nol), dimisalkan vektor u = [u₁, u₂, u₃] adalah :

Jika  u = [u₁, u₂, u₃] dan  v = [v₁, v₂, v₃] maka cosinus sudut antara vektor u dan v adlah:

Bentuk u₁v₁ + u₂v₂ +u₃v₃ diberi nama khusus, yaitu perkalian skalar atau perkalian titik (dot product / inner product) dari dua vektor yaitu vektor u dan vektor v, ditulis u⦁v

u⦁v = u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃

Juga jika vektor u dan v kedua-duanya bukan nol, kosinus sudut antara dua vektor diatas adalah:

     Kita definisikan dua vektor u dan v disebut saling tegak lurus adalah jika produk skalar (perkalian skalar) dua vektor tersebut sama dengan nol. Jadi jika u . v = 0, maka u tegak lurus kepada v atau v tegak lurus kepada u. Dengan alasan definisi tersebut vektor nol selau tegak lurus kepada setiap vektor. Jika u dan v kedua-duanya bukan vektor nol, tapi u . V = 0, maka sudut antara kedua vektor adalah 90 derajat atau 270 derajat.

    Syarat dua vektor sejajar ialah komponen salah satu vektor yang terletak adalah kelipatan skalar dari komponen vektor lainnya.

Jika u₁ = k v₁ , u₂ = k v₂ , dan u₃ = k v₃ atau v₁ = k’ u₁ , v₂ = k’ u₂ , dan v₃ = k’ u₃ , dengan k atau k’ tidak sama dengan nol, maka u sejajar v. Jika k atau k’ positif maka kedua vektor tersebut sejajar dan searah, sedangkan jika k atau k’ negatif maka kedua vektor di atas sejajar tapi berlawanan arah.^. 

Contoh Soal

1.  Berapa sudut yang dibentuk oleh vektor u = [4, -5, 1] dan v = [6, 4, -4]

     Jawab :

     

     
     
     
   

         

2. Tentukan nilai x jika tiap vektor u = [-1, 3, x] tegak lurus v = [2, 1, 3]
    Jawab:

Syarat dua vektor saling tegak lurus adalah  u . v = 0

  u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃  = 0

(-1) . 2 + 3 . 1 + (x) 3 = 0

(-1) . 2 + 3 . 1 + (x)3  = 0

-2 + 3 + 3x =0

3x = -1

x = -1/3