Sejarah Matematika di Eropa pada Abad 13-16

Sejarah Matematika di Eropa pada Abad 13-16

 
     A. Abad 13

Leonardo fibonaci atau yang lebih dikenal sebagai Leonardo de Pisa adalah matematikawan yang paling berbakat pada abad pertengahan. Ia dikenal dalam sistem biologi India sejak abad 200 SM. Dia adalah anak seorang pedagang yang mengikuti ayahnya berdagang ke Mesir, Sicilia,Yunani dan Syria. Karyanya yang terbesar adalah sebuah buku yang berjudul Liber Abaci pada tahun 1202. Buku ini berisi tentang problem-problem dengan menggunakan lambang Hindu-Arab yang memperlihatkan bahwa dia dipengaruhi oleh aljabarnya Al-khawarizmi dan Abu Kamil. Liber abaci ini lebih memfokuskan pada aritmatika dibandingkan geometri, buku ini dimulai dengan penjelasan sembilan lambang bilangan India dengan menambahkan bilangan nol. Fibonacci pun secara tetap menggunakan garis datar ( – ) sebagai lambang untuk menyatakan pembagian, dalam buku ini Fibonacci menggunakan 3 jenis pecahan yaitu: pecahan biasa, pecahan sexagesimal, dan pecahan unit.

Salah satu problem yang terdapat pada Liber Abaci ini adalah “ berapa pasang kelinci yang akan dilahikan dalam satu tahun, yang dimulai dengan sepasang kelinci, apabila setiap bulan masing-masing pasangan menghasilkan satu pasang kelinci baru, dimana pasangan kelinci baru akan menghasilkan setelah bulan ke-2”. Problem ini dikenal sebagai barisan 3 Fibonacci; 1,1,2,3,5,8,13,21..., m,n,m+n... Karya keduanya Fibonacci’s Practica Geometriae pada tahun 1220, yaitu sebuah kumpulan materi geometri dan trigonometri yang dikerjakan oleh Euclid dan beberapa merupakan karya aslinya sendiri. Dan tahun 1225 dengan judul Liber Quadratorum, yaitu karyanya yang brilian dan original dalam menganalisis dan telah membuatnya luar biasa pada jaman Diophantus dan Fermat.

Bakatnya yang luar biasa ini menyebabkan dia dipanggil oleh raja Federick II untuk ikut dalam suatu perlombaan yang tiga soalnya sudah disiapkan oleh Jhon dari Pelermotiga dan salah satunya yaitu x2+5 adalah suatu kuadrat bilangan dan x2-5 juga merupakan suatu kuadrat dari sebuah bilangan, dan Fibonacci menjawab dengan tepat bahwa x bernilai sebab ()2 + 5 = ()2 - 5 = ()2 problem ini terdapat dalam buku Liber Quadrtorum, selain itu Fibonacci juga menuliskan identitas-identitas dalam buku Liber Quadrtorum seperti;

(a2+b2)(c2+d2) = (ac+bd)2 + (bc–ad)2

                          = (ad+bc)2 + (ac–bd)2 

B.    Abad ke-14

Abad ke-14 adalah masa yang tandus bagi matematika. Ini adalah abad dari maut hitam yang menyapu lebih dari 1/3 penduduk Eropa, di dalam abad ini terjadi perang 100 tahun (Hundred Year’s War), dengan pergolakan politik ekonomi di Eropa utara yang sedang memuncak.

Meskipun matematika pada abad pertengahan pada dasarnya bersifat praktis matematika spekulatif tidak sepenuhnya lenyap. Pemikiran-pemikiran filsuit-filsuit sholastic menyebabkan pemikiran teoritis yang halus tentang gerak, tak terhingga dan continu yang semuanya merupakan pemikiran pokok matematika modern.

Matematikawan terbesar masa itu Nicole Oresme, ia menulis lima karya matematika dan diterjemahkan sebagian dari Aristoteles. Dalam salah satu saluran itu muncul penggunaan pertama yaitu eksponen pecahan. Dalam  karya lain ia perkenalkan penentuan letak suatu titik yang menjadi awal dari geometri kordinat. Brosur-brosur berjasa menghidupkan kembali kegiatan Matematika atau renaisans dari Matematika. Karyanya memberi landasan dari Descartes untuk pemgembangan Matematika abad-15.

Thomas Bradwardine (1290 - 1349) menulis brosur-brosur tentang konsep   .kontinu, deskrit, besar tak berhingga, kecil tak berhingga. Ia juga menulis brosur tentang aritmetika, dan geometri.

C.    Abad ke-15

Bagian aritmetika dari suma dimulai dengan alogarisme bagi operasi-operasi yang pokok dan untuk mengambil kuadrat. Uraian cukup lengkap, juga mememuat misalnya saja tidak kurang dari delapan cara untuk melakukan perkalian. Aturan ponasi/ pernisalan yang dibahas dan diterapkan pula. Meskipun banyak kesalahan dalam karya Luca Pacioli tapi dalam Aritmetika karyanya merupakan standar authority. Aljabar yang ditulisnya masih aljabar sinkopasi. Singkatan-singkatan yanng ditulisnya antara lain:

p singkatan dari piu artinya tambah

m singkatan dari meno artinya kurang

co singkatan dari cosa artinya benda yg tidak diketahui dipakai untuk perubah x

ce singkatan dari censo dipakai untuk x2

cu singkatan dari cuba dipakai untuk x3

cece singkatan dari censo censo dipakai untuk x4

ae singkatan dari aequalis artinya sama

Tanda-tanda + dan- . disini tanda-tanda tersebut tidak digunakan sebagai lambang operasi tapi semata-mata untuk menyatakan kelebihan dan kekurangan.

 

D.    Abad ke-16

1.                  Menuju Aljabar dengan Lambang-lambang

Rogert Recorde (1510 - 1558) menulis karya dalam aljabar, geometri dan astronomi. Pada tahun 1557 ia menulis aljabar dengan judul The Whetstone Of De Witte. Dalam buku itulah pertama kali digunakan lambang “=” untuk kesamaan seperti digunakan sekarang. Awal dari tanda sama dengan “II dan ӕ”.

Chrisoff Rudolf (1499 - 1545) menulis buku aljabar dengan judul Die Coss. Dalam buku itu diperkenalkan lambang menarik akar “, barang kali sebagai singkatan dari radix.

Micheal Stifel (1486 - 1567) seorang biarawan Jerman, menerbitkan buku dengan judul Arithmetica Integra pada tahun 1544. Dalam buku itu ia menguraikan bilangan rasional, irasional, deret aritmetika, deret geometri, koefisien binomial hingga pangkat ke-7, dan memperkenalkan notasi A,AA,AAA,AAAA,... untuk pangkat A tak diketahui. Dalam buku itu sudah memakai lambang +, - dan sebagai operasi hitung dan memakai huruf untuk yang tak di ketahui.

2.                   Aljabar yang Berdiri Sendiri

Spione del Ferro (1465 - 1526) seorang guru besar matematika pada universitas Bologna pada tahun 1515 menulis persamaan pangkat tiga x³ + mx = n, tetapi tidak menerbitkannya, hanya memberitahu kepada seorang mahasiswanya Antonio Fior.Niccolo Fontana atau dikenal dengan Tartaglia (1499 - 1557) lahir di Brescia, Italia, putra seorang petani miskin. Pada serbuan Perancis ke Italia ia di siksa berat sehingga tak dapat berbicara baik. Orang tuanya meninggal dalam pembunuhan masal oleh pasukan Perancis. Maka Tartaglia sebagai seorang yatim piatu harus menghidupi dirinya sendiri, namun mampu belajar dengan baik atas biaya sendiri. Ada kalanya ia belajar dengan menggunakan batu nisan di kuburan sebagai pengganti batu tulis. Kemudian ia menjadi guru sebagai mata pencahariannya. Ia meninggal di Venesia.

Tartaglia mendapatkan penghargaan sebagai ahli pertama menggunakan matematika pada ilmu artileri. Ia juga menulis aritmetika tentang perdagangan, dan bea cukai, tentang Euclides dan Archimedes. Pada tahun 1535, ia menerbitkan penemuannya menyelesaikan persamaan pangkat tiga dalam bentuk x³ + px² = n. Maka Antonio Fior menentangnya untuk melakukan pertandingan matematika menyelesaikan persamaan pangkat tiga. Maka Tartaglia mempersiapkan diri untuk menyelesaikan persamaan itu dengan dua cara, sedang Antonio hanya menggunakan satu cara. Maka Tartaglia memenangkan pertandingan itu.

Girolamo Cardano (1501 - 1576) kelahiran Pavia, seorang yang sangat berbakat dalam berbagai bidang ilmu. Ia menulis tentang aritmetika, astronomi, fisika dan bidang lain. Karyanya paling karyanya paling terkenal adalah mengenai aljabar dengan judul Ars Magna yang ditulis pada tahun 1545. Dalam buku itu dimuatkan hasil penemuan Tartaglia untuk menyelesaikan persamaan pangkat tiga itu.

Penyelesaian persamaan kuadrat sudah mengikutsertakan akar-akar negatif. Ia sudah menghitung dengan bilangan imaginer, menghitung akar persamaan x³ + mx = n dikerjakan sebagai berikut : 

Pada tahun 1540, Zuanne de Tonini da Coi mengajukan soal kepada Cardano yang menghasilkan persamaan pangkat empat. Tetapi Cardano tak dapat menyelesaikannya. Murid Cardano, Lodovico Ferrari (1522 - 1565) berhasil menyelesaikan soal itu dan penyelesaiannya ditulis juga dalam buku Ars Magna.

Rafael Bombelli (1526 – 1557) lahir di Bolognia, Italia. Ia menulis aljabar yang diterbitkan pada tahun 1572. Ia menulis syarat penyelesaian persamaan pangkat tiga x³ + mx = n.

 

 Jika

, maka persamaan pangkat tiga itu mempunyai tiga akar riel. Ia memperbaiki lagi notasi penulisan aljabar yang dipakai ahli sebelumnya. Ia menggunakan tanda kurung dengan lambang “└ ┘”. Bombelli membedakan penulisan akar pangkat dua dengan R_q dan akar pangkat tiga dengan R_c . Untuk menulis akar dari bilangan negatif misalnya

ditulis dengan “dim R_q 2 “. 

                                                                                                                                              

Misalnya, Bombelli akan menulis

sebagai R_c └ 5p dim R_q 2 ┘

Penyelidikan akar-akar persamaan derajat tinggi berlanjut terus pada masa berikutnya untuk metode penyelesaian secara umum.

3.    Aljabar Menggunakan Huruf

Francois Viete (1540 - 1630) lahir di Fontenay, Perancis. Ia seorang ahli hukum dan anggota parlemen, tetapi dengan bakat luar biasa ia menggunakan waktu terluangnya mempelajari matematika. Bahkan ia kemudian dipandang sebagai ahli matematika terbesar abad-16 sebagai bapak Aljabar Modern. Ia menulis buku trigonometri pada tahun 1579 dengan judul Canon Mathematicus Seu Ad Triangula. Buku itulah yang pertama di Eropa yang menyelesaikan soal-soal trigonometri secara sistematis. Ia menyatakan cos n (tetha), n = 1, 2, 3,...,9 dengan cos(tetha). Buku itu juga menguraikan persamaan pangkat tiga dengan jawaban trigonometri.

Pada tahun 1591 ia menulis aljabar dengan judul In Artem Analiticam Isagoge. Ia mulai menyusun aljabar dengan menggunakan huruf-huruf. Huruf hidup menyatakan yang tak diketahui dan huruf mati untuk yang ditentukan. Sebelum Viete, lambang penulisan pangkat yang berbeda ditulis dengan huruf yang berbeda walaupun basisnya sama. Ia sudah memakai lambang + dan - , tetapi belum memakai lambang untuk sama dengan, ia masih memakai kata aequatur.

A ð X

A quadratum ð X²

A cubum ð X³

Maka 3 px³ + 2 qx² – 4rx² = 2s ð P3 in A cub + Q2 in A quad – R plano 4 in A aequatur S solido 2.

Judul ketiganya Supplementum Geometriae tahun 1593, di dalamnya membahas tentang sudut segitiga, penyelesaian persamaan kubik, dan mengkontruksi heptagon (segi 7) beraturan.

 

4.    Persamaan Derajat Tinggi

   Pada tahun 1600, ia menulis aljabar dengan judul De Numerosa Potestantum Resolutione. Dalam buku itu ia menjelaskan pendekatan akar persamaan derajat tinggi secara berturut-turut. Metode Viete itulah yang dipakai di Eropa hingga tahun 1680. Sebagai pemakaiannya terhadap persamaan kuadrat x² + mx = n dikerjakan sebagai berikut.

   Andaikan x₁ pendekatan salah satu akarnya, sebut x₁ + x₂ pendekatan yang lebih baik maka:

 

Judul kelima Viete adalah De Aequation Recognitione et Emendione (1615) yang membahas tentang mempelajari sifat-sifat umum persamaan aljabar.

Sejarah mencatat usaha-usaha menyelesaikan persamaan derajat tinggi itu secara umum. Pada tahun 1637 Descartes juga memberi penyelesaian persamaan pangkat empat itu. Pada tahun 1750, Euler mencoba menyelesaikan persamaan pangkat lima.

   P. Ruffini (1765 - 1823) seorang ahli Fisika Italia mencoba menyelesaikan persamaan pangkat lima itu pada tahun 1805, dan pada tahun 1813 membuktikan bawa penyelesaian persamaannya adalah tak mungkin.

Niels Hendrik Abel (1802 - 1829) seorang ahli Matematika Norwegia membuktikan tak mungkin menentukan akar persamaan pangkat lima atau lebih dinyatakan dengan koefisien persamaan itu.

                  5. Mengakhiri Abad 16

Christopher Clavius menulis beberapa textbook tentang aritmatika tahun 1583, aljabar tahun 1608 dan menerbitkan edisi Elemen Euclid tahun 1574.

Pietro Antonio Cataldi dengan menghasilkan karya-karyanya aritmatika, risalah tentang bilangan sempurna, edisi dari enam buku pertama Elemen, serta risalah singkat tentang aljabar.                               

Simon Stevin (1548 - 1620) dari negeri Belanda menulis aritmetika, ia ahli pertama menulis aritmetika, ia ahli pertama menulis tentang pecahan desimal, ia juga menulis tentang statistik dan hidrostatika.

Nicolas Coperniscus (1473 - 1543) dari Poladia. Ia menulis teori tentang alam semesta, yang dilengkapi pada tahun 1530 tetapi baru diterbitkan pada tahun 1543 setelah ia meninggal. Ia menulis perbaikan trigonometri.

George Joachim Rhaeticus (1514 - 1576) murid dari Copernious berasal dari Jerman, selama 12 tahun ia menyusun tabel trigonometri dari 6 fungsi trigonometri itu dalam interval detik.

Rhaeticus-lah sarjana pertama mendefinisikan fungsi trigonometri dinyatakan dengan sisi-sisi segitiga siku-siku. Tabel Rhaeticus diterbitkan pada tahun 1593 oleh seorang pendeta Jerman peminat matematika yakni Bartholomaus Pitiscus (1561-1613).

Dapatkah disimpulkan bahwa pada akhir abad 16, perkembangan matematika sudah meletakkan dasar pengembangan selanjutnya yang cepat pada abad 17.

Aljabar sudah mulai ditulis dengan lambang-lambang menggunakan huruf, perhitungan bilangan sudah baku dengan sistem bilangan Hindu-Arab. Pecahan desimal sudah tersusun, teori persamaan derajat tinggi sudah diselesaikan dalam bentuk tertentu. Bilangan negatif sudah termasuk dalam sistem bilangan. Fungsi-fungsi trigonometri sudah disusun sistematik bersama tabel-tabel fungsi trigonometri itu.