Sejarah Perkembangan Euclid

 Sejarah Perkembangan Euclid

1.    Geometri Euchild

Euclid dapat disebut sebagai matematikawan utama. Dia dikenal karena peninggalannya berupa karya matematika yang dituang dalam buku The Elements sangatlah monumental. Buah pikir yang dituangkan ke dalam buku tersebut membuat Euclid dianggap sebagai guru matematika sepanjang masa dan matematikawan terbesar Yunani.Banyak teorema-teorema yang dijabarkannya merupakan hasil karya pemikir-pemikir sebelumnya, termasuk Thales, Hipokrates, dan Pythagoras dalam buku The Elements. Akan tetapi, secara umum Euchild dihargai karena telah menyusun teorema-teorema ini secara logis, agar dapat ditunjukkan ( tak dapat di sangkal, tidak selalu dengan bukti teliti seperti yang dituntut matematika modern) bahwa cukup mengikuti lima aksioma sederhana.

Buku The Elements sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 2000 tahun dan merupakan textbook yang paling sukses yang pernah disusun manusia.Sebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku The Elements jauh lebih berpengaruh ketimbang semua risalah Aristoteles tentang logika. The Element diawali dengan definisi, postulat (hanya untuk buku I), proposisi, teorema, sebelum ditutup dengan pembuktian menggunakan definisi dan postulat yang sudah disebutkan. Buku ini diterbitkan di Yunani tahun 1482, yang diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dan Arab, serta menjadi buku teks geometri dan logika pada awal tahun 1700-an.Garis besar isi masing-masing buku tersebut adalah sebagai berikut:

-     Buku I : Dasar-dasar geometri: Teori segitiga, sejajar, dan luas, menguraikan proposisi-prosisi dasar dari geometri bidang datar, termasuk tiga kasus dalam hal kekongkruenan segitiga, macam-macam teorema tentang garis-garis sejajar, teorema mengenai jumlah sudut-sudut dalam sebuah segitiga dan teorema phytagoras.

-     Buku II : Aljabar geometri, kebanyakan teoremanya tidak lebih tentamg penafsiran aljabar sederhana.

-     Buku III : Teori-teori tentang lingkaran, menyelidiki lingkaran dan sifat-sifatnya, dan termasuk teorema tentang tangent dan sudut-sudut yang digambarkan.

-     Buku IV : Cara membuat garis dan gambar melengkung, terkait segibanya beraturan dan lingkaran-lingkaran yang mengelilinginya.

-     BukuV : Teori tentang proporsi-proporsi abstrak, mengembangkan teori aritematika tentang perbandingan.

-     Buku VI : Bentuk yang sama dan proporsi-proporsi dalam geometri, menerapkan teori perbandingan kepada geometri bidang datar, dan memuat teorema-teorema bilangan kembar.

-     Buku VII : Dasar-dasar teori angka, menguraikan teori bilangan dasar: misalnya bilangan prima.

-     Buku VIII : Proporsi-proporsi lanjutan dalam teori angka, terkait dengan deret geometri.

-     Buku IX : Teori angka, memuat macam-macam aplikasi dari hasil dua buku sebelumnya,dan memuat teorema-teorema ketakterhinggaan bilangan prima, maupun rumus jumlah deret geometri.

-     Buku X : Klasifikasi, berusaha menggolongkan besaran yang tak dapat dibbandingkan (dengan kata lain irasional) menggunakan apa yang disebut “metode keletihan” , suatu rintisan integral kuno.

-     Buku XI : Geometri tiga dimensi, menghitung volume relatif dari kerucut, piramida, tabung, dan bola menggunakan metode keletihan.

-     Buku XII : Mengukur bentuk-bentuk

-     Buku XIII : Bentuk-bentuk tri-matra (tiga dimensi), meneliti apa yang biasa disebut lima benda padat platonis.

Euclid mencetuskan 5 postulat yang kemudian menjadi pokok bahasan. Agar tidak terjadi salah interpretasi, postulat kelima juga disajikan dalam bahasa Inggris. Hal ini disengaja, karena munculnya geometri non-Euclidian (yang dirintis oleh Gauss), yang diawali dengan menganggap postulat kelima salah total. Adapun Euchild memberikan lima postulat (aksiom) :

1.    Apa-apa dua titik boleh dihubungkan dengan satu garis lurus.

2.     Apa-apa tembereng garis lurus boleh dipanjangkan di dalam satu garis lurus.

3.    Satu bulatan boleh dilukis dengan menggunakan satu garis lurus sebagai jejaridan satu lagi titik hujung sebagai pusat.

4.    Semua sudut serenjang adalah kongruen.

5.    Postulat selari. Jika dua garis bersilangan dengan yang ketiga dalam satu cara yang jumlah sudut dalaman adalah kurang daripada satu lagi, maka dua garis ini mesti bersilangan di atas satu sama lain sekiranya dipanjangkan secukupnya.

Aksiom-aksiom ini menggunakan konsep-konsep berikut: titik, tembereng garis lurus dan garis, sebagian daripada satu garis, bularan dengan jejari dan pusat, sudut serenjang, kongruen, sudut-sudut dalaman dan serenjang, jumlah. Kata-kata kerja yang berikut muncul: sambung, dipanjangkan, lukis, silang. Bulatan ini digambarkan dengan menggunakan postulat 3 adalah sangat unik. Postulat-postulat 3 dan 5 hanya boleh digunakan untuk geometri satah; dalam tiga dimensi, postulat 3 mentakrifkan suatu bulatan.

Satu bukti daripada buku Euclid "Elements" bahwa apabila diberikan satu tembereng garis, satu segitiga sama wujud termasuklah tembereng sebagai salah satu daripada tiga sisi. Buktinya adalah dengan cara binaan: Satu segitiga sama ΑΒΓ dibuat dengan melukis bulatan Δ dan Ε berpusat pada titik-titik Α dan Β, dan dengan mengambil satu persilangan bulatan sebagai puncak sudut ketiga bagi segitiga tersebut. Postulat 5 membawa kepada geometri yang sama sebagai penyataan yang berikut, dikenali sebagai Aksiom Playfair, yang hanya boleh dipegang hanya konsep di dalam  itu: “Menerusi satu titik yang tidak terletak di atas satu garis lurus, hanya satu saja garis yang boleh dilukis tidak akan bertemu garis yang diberi.”

Postulat-postulat 1, 2, 3, dan 5 menegaskan bahwa kewujudan dan keunikan rajah-rajah geometri, dan penegasan ini adalah satu binaan semula jadi, kita tidak diberitahu bahwa ada perkara tertentu wujud, tetapi kaidah-kaidah diberi untuk mencipta dengan tidak lebih daripada satu kompas dan satu pinggiran lurus yang tidak bertanda. Dalam  ini, geometri Euclid adalah lebih konkrit daripada kebanyakan sistem-sistem aksiom moden seperti teori set, yang mana kebiasaannya menegaskan kewujudan objek-objek tanpa mengatakan bagaimana untuk membina mereka, atau menegaskan kewujudan objek-objek yang tidak boleh dibina di dalam ruang teori berkenaan.

Sebenarnya, binaan-binaan garis di atas kertas dan sebagainya adalah model-model objek yang lebih baik ditakrifkan di dalam sistem formal, daripada hanya contoh-contoh objek berkenaan. Sebagai contoh, satu garis lurus Euclid tidak mempunyai lebar, tetapi apa-apa garis yang benar akan menjadi lebar. Elements juga memasukkan lima “notasi biasa”, yaitu :

1.    Perkara yang sama dengan benda yang sama tetapi juga setara antara satu sama lain.

2.    Jika setara ditambahkan kepada persamaan, maka jumlah keseluruhan juga adalah setara.

3.    Jika setara ditolak daripada persamaan, maka akibatnya juga adalah setara.

4.    Perkara yang bertembung di antara satu sama lain juga setara antara satu sama lain “that coincide with one another equal one another.”

5.    Jumlah keseluruhan juga lebih besar daripada bagian berkenaan.

Euclid juga menggunakan sifat-sifat lain yang berkaitan dengan magnitud. 1 adalah satu-satunya bahagian daripada dasar logik yang Euclid lahirkan dengan terang dan jelas. 2 dan 3 adalah prinsip-prinsip "aritmetik"; perhatikan bahawa makna-makna "tambah" dan "tolak" di dalam konteks geometri asli ini telah diberi sama seperti diambil. 1 hingga 4 secara takrifan mempunyai persamaan, yang mana boleh juga diambil sebagai bahagian pendasaran logik atau sebagai satu keperluan hubungan kesetaraan , seperti "pertembungan," definisi yang sangat teliti. 5 adalah satu prinsip mereologi. "Keseluruhan", "sebahagian", dan "baki" memerlukan takrifan yang tepat. 

2.  Struktur Geometri Euclid

    Asumsi atau postulat yang ada untuk geometri bidang Euclid adalah :

1.    Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama lainnya.

2.    Jika kesamaan ditambahkan dengan kesamaan, maka jumlahnya akan sama.

3.    Jika kesamaan dikurangi dari kesamaan, selisihnya akan sama.

4.    Keseluruhan akan lebih besar dari pada bagiannya.

5.    Bangun geometrik dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau bentuknya.

6.    Setiap sudut memiliki bisektor.

7.    Setiap segmen memiliki titik tengah.

8.    Dua titik hanya berada pada satu-satunya garis.

9.    Sembarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan segmen yang diberikan.

10.    Lingkaran dapat digambarkan dengan sebarang titik pusat dan radius yang diketahui.

11.    Semua sudut siku-siku sama besar.

Dari postulat-postulat di atas dapat dideduksi sejumlah teorema dasar, diantaranya adalah :

1.    Sudut bertolak belakang sama besar.

2.    Sifat kongruensi segitiga (si-sd-si, sd-si-sd, si-si-si).

3.    Teorema kesamaan sudut dasar segita sama kaki dan konversinya.

4.    Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut.

5.    Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal.

6.    Pembuktian suatu sudut yang sama dengan sudut dengan titik sudut dan sisi yan telah diberikan sebelumnya.

7.    Pembentukan segitiga yang kongkruen dengan segitiga dengan sisi yang sama pada sisi segitiga yang diketahui.

Sekarang akan dibuktikan teorema sudut eksterior, sebagai cara menuju perkembangan lebih lanjut.

Teorema 1. Teorema sudut eksterior. Sudut eksterior segitiga akan lebih besar daripada sudut interior terpencil manapun.

 

Bukti. Misal ABC adalah segitiga sembarang dan misalkan D merupakan perpanjangan dari  melalui C. Pertama akan ditunjukkan bahwa sudut eksterior  lebih besar dari . Misalkan E merupakan titik tengah AC, dan misalkan BE merupakan perluasan panjangnya melalui E hingga F. Maka AE=EC=BE=EF dan   (sudut bertolak belakang sama besar). Jadi  (si-su-si), dan  (akibat segitiga kongkruen). Karena  (keseluruhan sudut selalu lebih besar dari bagiannya), maka disimpulkan bahwa .

            Untuk menunjukkan bahwa , perluas  melalui C hingga H, yang membentuk . Kemudian tunjukkan bahwa , dengan menggunakan prosedur bagian pertama pembuktian: misalkan M merupakan titik tengah , perluas panjang , dan lain-lain. Untuk melengkapi bukti, perhatikan bahwa  merupakan sudut bertolak belakang sehingga sudut tersebut sama besar. Pernyataan  bergantung pada diagramnya. Sekarang mudah melakukan pembuktian beberapa hasil yang cukup penting.

Teorema 2. Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sehingga membentuk pasangan sudut interior dalam bersebrangan, maka garis tersebut sejajar.

Bukti. Ingat kembali bahwa dua garis dalam bidang yang sama dikatakan sejajar jika garis tersebut tidak tertentu (berpotongan). Misalkan garis transversal membagi dua garis l, m pada titik A,B sehingga membentuk pasangan sudut interior dalam berseberangan, ∠1 dan ∠2, yang sama besar, dan misalkan garis l dan garis m tidak sejajar. Maka garis l dan garis m akan bertemu di titik C yang membentuk ∆ABC. C terletak pada satu sisi AB atau pada sisi  yang lainnya. Untuk kasus lainnya, sudut eksterior ∆ ABC sama dengan sudut interior terpencil. (misalkan, jika C pada sisi AB yang sama sebagai ∠2 maka sudut eksterior ∠1 sama dengan sudut interior terpencil ∠2 ). Hal ini kontradiksi dengan teorema sebelumnya. Oleh karena itu garis l dan garis m sejajar.

·      Akibat 1. Dua garis tegak lurus terhadap garis yang sama pasti sejajar.

·      Akibat 2. Hanya ada satu garis yang tegak lurus terhadap garis melalui titik eksternal.

·     
Akibat 3. (Eksistensi garis sejajar). Jika titik P tidak berada pada garis l, maka akan ada setidaknya satu garis yang melalui P yang sejajar dengan l.

Bukti. Dari P hilangkan garis tegak lurus pada garis l yang memiliki kaki di Q, dan di P buat garis m yang tegak lurus terhadap PQ. Maka garis m sejajar dengan garis l menurut akibat 1.

Teorema 3. Jumlah dua sudut segitiga kurang dari 180o.

Bukti. Misalkan ∆ABC merupakan sebarang segitiga. Akan ditunjukkan bahwa ∠A + ∠B < 180o. Perluas CB melalui B hingga ke D. maka ∠ABD merupakan sudut eksterior ∆ABC. Dengan menggunakan teorema 1,  ∠ABD >∠A, tetapi ∠ABD = 180o - ∠B.dengan mensubstitusikan untuk ∠ABD pada relasi pertama, maka : 180o - ∠B > ∠A, atau 180o > ∠A + ∠B. Jadi, ∠A + ∠B < 180o, dan  teorema tersebut terbukti.

2.   Pengganti Postulat Sejajar Euclid

Postulat sejajar Euclid biasanya digantikan oleh pernyataan berikut ini :

“Hanya ada satu garis sejajar pada garis yang melalui titik bukan pada garis tersebut.”

Pernyatan ini disebut dengan postulat Playfair. Postulat ini bisa dihubungkan dengan postulat sejajar Euclid karena sebenarnya dua pernyataan ini tidak sama. Pernyataan sebelumnya merupakan pernyataan tentang garis sejajar, dan pernyataan kedua mengenai garis bertemu. Bahkan kedua pernyataan tersebut memainkan peran yang sama dalam perkembangan logis geometri. Dikatakan pernyataan ini ekivalen secara logis. Hal ini berarti bahwa jika pernyataan  pertama dianggap sebagai postulat (bersama dengan semua postulat Euclid kecuali postulat sejajar), kemudian pernyataan kedua dapat dideduksi sebagai teorema; dan konversinya, jika pernyataan kedua dianggap sebagai postulat (bersama dengan semua postulat Euclid kecuali postulat sejajar), maka pernyataan   pertama dapat dideduksi sebagai teorema. Jadi secara logis, tidak penting dua pernyataan mana yang akan diasumsikan sebagai postulat dan yang mana yang akan dideduksi sebagai suatu teorema.

3.    Ekivalensi Postulat Euclid dan Playfair

Akan dibuktikan ekivalensi postulat Euclid dan postulat Playfair. Pertama, dengan mengasumsikan postulat sejajar Euclid, maka akan dideduksi postulat Playfair.

Diketahui garis l dan titik P tidak pada l (gambar 2.5), maka akan ditunjukkan bahwa hanya ada satu garis melalui P yang tidak pada l. diketahui bahwa ada garis melalui P yang sejajar dengan l, dan diketahui juga bagaimana cara menggambarnya (akibat 3,teorema 2). Dari P, dihilangkan garis tegak lurus pada l dengan kaki Q dan pada P garis tegak m yang tegak lurus pada . Maka garis m sejajar garis l.

Kemudian misalkan garis n sebarang garis melalui P yang berbeda dengan garis m. maka akan ditunjukkan bahwa garis n bertemu dengan garis l. Misalkan

∠1, ∠2 menunjukkan sudut dimana garis n bertemu dengan 𝑃 . Maka ∠1 bukan merupakan sudut siku-siku untuk sebaliknya garis n  dan  garis  m  berimpit, berlawanan dengan asumsi. Jadi ∠1 atau ∠2 adalah  sudut  lancip, misalnya  ∠1 yang merupakan sudut lancip.

 

Ringkasannya, garis l dan garis n dibagi oleh garis transversal sehingga membentuk sudut lancip ∠1 dan sudut siku – siku, yang merupakan sudut interior pada sisi yang sama dari garis transversal tersebut. Karena jumlah sudut tersebut kurang dari 180o, postulat sejajar Euclid dapat diaplikasikan dan disimpulkan bahwa garis n bertemu dengan garis l. Jadi garis m hanya satu – satunya garis yang melalui P yang sejajar dengan garis l dan dideduksikan bahwa postulat Playfair dari postulat sejajar Euclid.

Sekarang dengan mengasumsikan postulat Playfair, akan dideduksi postulat sejajar Euclid.

 

Misalkan garis m dibagi oleh garis transversal dititik Q, P yang membentuk ∠1 dan ∠2, pasangan sudut interior pada satu sisi garis transversal yang memiliki jumlah sudut kurang dari 180o ( gambar 2.6 ), adalah :

(1)     ∠1 +  ∠2 = 180o

Misalkan    ∠3  menunjukkan  tambahan  ∠1  yang  terletak  pada  sisi berlawanan  dari ∠1 dan ∠2 ( gambar 2.6 ), maka :

  (2)      ∠1 + ∠3 = 180o

Dari hubungan (1), (2) maka :

(3)     ∠2 < ∠3

Pada titik P, bentuk ∠QPR yang sama dengan dan yang interior dalam berseberangan dengan ∠3. Maka ∠2 < ∠PQR, sehingga  berbeda dari garis m. menurut teorema 2,  sejajar dengan l. Karenanya menurut postulat Playfair, m tidak sejajar dengan l. Oleh karena itu, garis m dan l bertemu.

Seandainya  garis-garis  tersebut  bertemu  di  sisi  berlawanan  dari    dari  ∠1  dan ∠2, katakanlah di titik E maka ∠2 merupakan sudut eksterior ΔPQE, karenanya ∠2  > ∠3 , berlawanan dengan (3). Akibatnya, pengandaian tadi salah, jadi garis m dan  l  bertemu  pada  sisi  garis  transversal   yang  memuat  ∠1  dan  ∠2.  Jadi, postulat sejajar Euclid mengikuti postulat Playfair dan akibatnya dua postulat tersebut menjadi ekivalen.

4.     Peran Postulat Sejajar Euclid

Dengan mengasumsikan postulat sejajar Euclid berikut ini merupakan beberapa hasil penting yang dapat dibenarkan :

1.    Jika dua garis sejajar dibagi oleh garis transversal, sebarang pasangan sudut interior dalam berseberangan yang terbentuk akan sama besar.

2.    Jumlah sudut sebarang segitiga adalah 180°.

3.    Sisi bertolak belakang dari jajaran genjang adalah sama besar.

4.    Garis sejajar selalu berjarak sama.

5.    Eksistensi segi empat dan bujur sangkar.

6.    Teori luas menggunakan unit persegi.

7.    Teori segitiga yang sama, yang termasuk eksistensi bangun dengan ukuran sebarang yang sama dengan bangun yang diketahui.

Postulat sejajar Euclid merupakan sumber untuk banyak hasil yang sangat penting. Tanpa postulat tersebut (atau ekivalennya), kita tidak akan memiliki teori luas yang sudah lama dikenal, teori kesamaan, dan teori Pythagoras yang terkenal itu.

Cara dimana Euclid mengatur teoremanya mengimplikasikan bahwa sesungguhnya Euclid tidak sepenuhnya puas dengan postulat sejajarnya. Euclid manyatakan hal tersebut di awal karjanya tetapi pernyataan itu tidak dipakainya sampai akhirnya dia tidak dapat malakukan kemajuan tanpa postulat tersebut. Agaknya, Euclid memiliki intuisi bahwa postulat sejajar tersebut tidak memiliki kualitas intuitif ataupun sederhana dari postulat lainnya. Rasa yang demikian dilakukan oleh para ahli geometri dalam selama 20 abad. Para ahli mencoba mendeduksi postulat sejajar dari postulat lainnya, atau menggantikan postulat tersebut dengan postulat yang nampaknya lebih pasti.

5.     Tokoh-Tokoh Dalam Perkembangan Euclid Geometry

a.   Bukti Proclus tentang Postulat Sejajar Euclid

Prolus (410-485) memberikan “bukti” tentang postulat sejajar Euclid yang kita ringkas sebagai berikut :

Kita asumsikan postulat Euclid bukan sebagai postulat sejajar. Misalkan P merupakan titik tidak berada pada garis l (gambar 2.7). kita bentuk garis m melalui P sejajar dengan garis l dengan cara yang biasa digunakan. Misalkan  tegak lurus dengan l di Q, dan misalkan m tegak lurus dengan  di P. Sekarang, anggaplah ada garis lain n melalui P yang yang sejajar dengan l, maka n membentuk sudut lancip dengan garis PQ, yang terletak katakanlah pada sisi kanan . Bagian dari n di sebelah kanan titik P seluruhnya termuat dalam daerah yang dibatasi oleh garis l, m dan . Sekarang dimisalkan X adalah sebarang titik di m yang letaknya di sebelah kanan titik P, misalkan  tegak lurus dengan l di Y dan  misalkan  garis   tersebut  bertemu  dengan  garis  n  di  Z.  Maka    >  . Misalkan X mundur di garis m, maka  meningkat secara tidak menentu, karena  setidaknya sama besarnya dengan segmen dari X yang tegak lurus dengan n.

Jadi  juga meningkat secara tidak menentu. Tetapi jarak antara dua garis sejajar harus terbatas. Oleh karena itu, akan menjadi kontradiksi dan pengandaian salah. Jadi, m hanya merupakan satu-satunya garis yang melalui P yang sejajar dengan garis l. Karenanya, postulat Playfair berlaku, dan juga ekivalen dengan postulat sejajar Euclid.

Argumen Prolus tersebut mencakup 3 asumsi :

  

 

a.          Jika dua garis saling berpotongan, jarak pada suatu garis dari satu titik ke garis lainnya akan meningkat secara tak menentu, karena titik tersebut mundur (menyusut) tak berujung.

b.          segmen terpendek yang menghubungkan titik eksternal pada suatu garis merupakan segmen yang tegak lurus.

c.           jarak antara dua garis sejajar adalah terbatas.

(a) dan (b) dapat dibenarkan tanpa bantuan postulat sejajar Euclid. Jadi inti persoalan pembuktian adalah asumsi (c). Proclus mengasumsikan (c) sebagai postulat tambahan. Mari kita sebut sebagai postulat asumsi Proclus tersembunyi. Kemudian bisa dinyatakan: postulat Proclus ekivalen dengan postulat sejajar Proclus. Postulat sejajar Euclid mengimplikasikan bahwa jarak antara garis sejajar selalu konstan, dan terbatas. Konversinya, melalui argumen Proclus dapat dinyatakan bahwa postulat Proclus mengimplikasikan postulat sejajar Euclid. Jadi, Proclus menggantikan postulat sejajar dengan postulat yang ekivalen, dan bukan menetapkan validitas postulat sejajar tersebut.

 

b.  Percobaan Saccheri untuk Mempertahankan Postulat Euclid

Girolamo Saccheri (1667-1733) melakukan studi yang mendalam tentang geometri dalam buku yang berjudul Euclides Vindicatus, yang diterbitkan di tahun saat kematiannya. Beliau melakukan pendekatan terhadap permasalahan pembuktian postulat sejajar Euclid dengan cara baru yang radikal. Prosedurnya ekivalen dengan mengasumsikan bahwa postulat sejajar Euclid salah, dan menemukan kontradiksi dengan penalaran logis. Hal ini akan mensahkan postulat sejajar dengan menggunakan prinsip metode tak langsung.

Maksud Saccheri adalah studi segi empat yang memiliki sisi yang sama panjang dan tegak lurus dengan sisi ketiga. Tanpa mengasumsikan sebarang postulat sejajar, beliau melakukan studi mendalam tentang segi empat tersebut yang sekarang disebut dengan segi empat Saccheri. Misalkan ABCD merupakan segi empat Saccheri dengan AD = BC dan sudut siku-siku di A, B (gambar  2.10).

 

Jika postulat sejajar Euclid diasumsikan, maka hipotesis sudut siku-siku akan terjadi (karena postulat sejajar mengimplikasikan bahwa jumlah sudut sebarang segi empat adalah 360°). Argumen dasar Saccheri sebagai berikut:

“Tunjukkan bahwa hipotesis sudut tumpul dan hipotesis sudut lancip keduanya membawa keadaan kontradiksi. Hal ini akan membentuk hipotesis sudut siku-siku yang ekivalen dengan postulat sejajar Euclid.”

Saccheri membuktikan menggunakan sederetan teorema yang memiliki alasan yang tepat, bahwa hipotesis sudut tumpul akan menghasilkan kontradiksi.

Beliau mempertimbangkan implikasi hipotesis sudut lancip. Di antaranya ada sejumlah teorema yang tidak umum, dua di antaranya kita nyatakan sebagai berikut:

·      Jumlah sudut sebarang segitiga kurang dari 180°.

·      Jika l dan m merupakan dua garis dalam bidang, maka salah satu dari sifat di bawah ini di penuhi:

a.          l dan m berpotongan, dalam kasus di mana dua garis tersebut divergen dari titik perpotongan.

b.          l dan m tidak berpotongan tetapi memiliki garis tegak lurus yang  sama di mana dua garis tersebut divergen dalam kedua arah dari garis tegak lurus yang sama tersebut.
l dan m tidak brpotongan dan tidak memiliki garis tegak lurus yang sama, di mana dua garis tersebut konvergen dalam satu arah langkah, dan divergen pada arah lainnya.

Saccheri tidak memandang sebagai kontradiksi, meskipun beliau pikir harus menganggap sebagai kontradiksi dan bahkan diketahui pada masa sekarang bahwa teori hipotesis sudut lancip Saccheri bebas kontradikisi seperti geometri Euclid. Saccheri membuktikan bahwa ∠C = ∠D dan kemudian mempertimbangkan tiga kemungkinan yang berhubungan dengan sudut C dan D :

1. Hipotesis tentang sudut siku-siku (∠C = ∠D = 90°)

1.           Hipotesis tentang sudut tumpul (∠C = ∠D > 90°)

2.           Hipotesis tentang sudut lancip (∠C = ∠D < 90°)